การซื้อหวย โดยใช้คณิตศาสตร์

หากต้องการคำแนะนำในการเล่นหวยจากบุคคลสองคนนี้ โดยเลือกได้คนเดียว คุณจะเลือกคนไหน? ระหว่างคนที่ถูกหวยรางวัลเลขท้าย ติดต่อกัน 100 งวด กับ คนที่ถูกหวยลอตเตอรี่รางวัลที่ 1 แต่เป็นการถูกหวยเพียงแค่ครั้งเดียวในชีวิต...จริงอยู่ว่าการที่ถูกลอตเตอรี่รางวัลที่ 1 เพียงแค่ครั้งเดียว อาจทำเงินได้มากกว่า การถูกเลขท้ายติดต่อกันถึง 100 งวด อย่างไรก็ตาม โอกาสที่สลากกินแบ่งใบหนึ่งจะถูกรางวัลที่หนึ่งชุดใหญ่มีค่าน้อยมาก ดังนั้นถ้าให้เลือกปรึกษาคนใดคนหนึ่งจากสองคนนี้ ควรเลือกปรึกษาคนแรกมากกว่า เพราะการถูกติดต่อกัน 100 งวด นั้นไม่ใช่เรื่องบังเอิญแน่ๆ

คนส่วนมากยังเข้าใจผิดว่า ถ้าซื้อหวยงวดละใบติดต่อกันหนึ่งร้อยงวด แล้วจะต้องถูกรางวัลเลขท้าย 2 ตัว อย่างแน่นอน (00,01,02,...99 มีทั้งหมด 100ตัวเลขเท่ากับ100งวด) ที่จริงแล้วโอกาสดังกล่าวมีแค่ 63.4% หากลองอ่านบทความในหัวข้อ "ใช้คณิตศาสตร์ กับการเชิญแขกมางาน" ปัญหาในลักษณะนี้สามารถแก้ปัญหาได้ง่ายๆเพียงแค่ป้อนค่า =1-binomdist(0,100,1%,true) เข้าไปในไมโครซอฟท์เอกเซล ดังนั้นจะเห็นว่าแม้ทำการซื้อสลากงวดละใบติดต่อกัน 100 งวด โอกาสที่จะไม่ถูกรางวัลก็ยังมีสูงถึง 37.6% ซึ่งนับว่าสูงมากเลยทีเดียว

ใช้คณิตศาสตร์ กับการเชิญแขกมางาน (3)

เราสามารถลดความเสี่ยงลงได้ หากเราเพิ่มที่นั่งให้มากขึ้นจากเดิม ดังนั้นจึงเกิดคำถามต่อไปว่า ควรจะเพิ่มที่นั่งเท่าไร จำนวนที่นั่งจะเหมาะสมกับจำนวนแขกที่มางาน ซึ่งผลการคำนวณจากตัวอย่างที่แล้ว เมื่อทำการจองที่นั่งไว้ 140 ที่ จำนวนแขกที่จะมาล้นงานสูงถึง 47% ซึ่งหากทำการเพิ่มค่าที่นั่งให้มากขึ้น ความน่าจะเป็นที่แขกมาล้นงานจะมีค่าดังนี้
1) เมื่อเพิ่มที่นั่งเป็น 145  จะต้องป้อนค่า =1-binomdist(145,200,70%,true) = 20%
2) เมื่อเพิ่มที่นั่งเป็น 150  จะต้องป้อนค่า =1-binomdist(150,200,70%,true) = 5%
3) เมื่อเพิ่มที่นั่งเป็น 155  จะต้องป้อนค่า =1-binomdist(155,200,70%,true) = 0.5%

จากผลการคำนวณจะเห็นว่า ควรจองที่นั่งเท่ากับ 155 ที่ เพราะโอกาสที่แขกจะมาล้นงานนั้นมีค่าน้อยที่สุด และไม่เป็นการเผื่อที่มากเกินไปอีกด้วย...

ใช้คณิตศาสตร์ กับการเชิญแขกมางาน (2)

การใช้ฟังก์ชัน =binomdist() สามารถทำกันได้ง่ายๆ ยกตัวอย่างเช่น โอกาสที่เหรียญบาทจะออกก้อยอย่างน้อย 10 ครั้ง ในการโยนเหรียญทั้งหมด 20 ครั้งจะเป็นเท่าใด คำตอบของคำถามนี้ไม่ได้ตอบ 50% แน่ๆ เพราะ อย่างน้อย 10 ครั้ง นั้น รวมกรณี 11,12,13,...20 เข้าไปด้วย แต่ปัญหาลักษะนี้สามารถใช้ฟังก์ชันนี้ในการแก้ปัญหา โดยเพียงแค่ป้อนคำสั่งในเอกเซลล์ด้วย = binomdist (9,20,50%,true) ซึ่งหมายความว่าโอกาสที่เหรียญจะออกก้อยไม่เกิน 9 ครั้งใน 20ครั้ง ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้เมื่อป้อนค่านี้ลงไปจะได้เท่ากับ 0.41 ดังนั้น โอกาสที่เหรียญจะออกก้อยอย่างน้อย 10 ครั้งขึ้นไป = 1-0.41 = 0.59 เป็นต้น

หากต้องการทราบ จำนวนแขกที่มาในงานเลี้ยงก็สามารถที่จะใช้สูตรนี้ได้เช่นกัน เพราะแขกที่มาในงานเลี้ยง จะมาหรือไม่นั้น ก็เปรียบเหมือนกับ การโยนเหรียญ สมมุติว่า ถ้าแจกบัตรเชิญแขกไปทั้งสิ้น 200 ใบ และ คาดการณ์ว่าแขกจะมาร่วมงานอยู่ 70% ด้วยกัน ดังนั้นน่าจะจองที่นั่งไว้ 140 ที่ (เพราะคิดว่า 70% ของ 200 คือ 140) ในตัวอย่างนี้เราลองมาหาความน่าจะเป็นที่ แขกจะมาร่วมงานเกิน 140คน ดังนั้นเราจะใช้สูตร คือ 1-binomdist (140,200,70%,true) ซึ่งผลลัพธ์ที่ออกมาจะมีค่าเท่ากับ 47% แสดงว่าจะมีโอกาสที่แขกนั้นจะมาล้นงานถึง  47% ซึ่งนับว่าสูงมาก และถือว่าเป็นความที่เสี่ยงที่สูงเกินไป ดังนั้นหากเราต้องการที่ลดความเสี่ยงที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นนั้น มีวิธีที่สามารถทำได้อย่างไร

ใช้คณิตศาสตร์ กับการเชิญแขกมางาน (1)

ในชีวิตของเรานั้นอาจได้มีโอกาสในการจัดงานเลี้ยงสักครั้ง อย่างน้อยก็วันแต่งงานของตนเอง... ทุกคนคงอยากให้งานเลี้ยงของเรานั้นดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ อย่างไรก็ตามเจ้าภาพจัดงานเลี้ยงนั้นจะทราบ จำนวนของแขกที่มางานของตนเองแท้จริงได้อย่างไร เพราะในเมื่อ สมมุติว่าเชิญแขกมางานทั้งสิ้น 300 คน แต่แขกที่มางานย่อมน้อยกว่า 300 คนเสมอเพราะอาจมีแขกบางคนซึ่งติดธุระมาในวันงานไม่ได้ บางคนอาจเสนอว่า ก็ในเมื่อเราเชิญแขก มางาน 300 คน เราก็ควรจัดโต๊ะให้ครบ 300 ด้วย เหลือที่นั่งเอาไว้ ยังดีกว่าขาด อย่างไรก็ตามถึงแม้ว่า "เผื่อเหลือดีกว่าเผื่อขาด" แต่นั่นเป็นวิธีที่ดีที่สุดจริงหรือ เพราะการเหลือที่นั่งเอาไว้ เป็นการสิ้นเปลืองงบประมาณ ทั้งปริมาณอาหาร ปริมาณโต๊ะ เก้าอี้ ขนาดของห้องที่ใช้จอง ฯ  และยังส่งผลถึงบรรยากาศในงานด้วย คงไม่มีเจ้าภาพคนไหนต้องการเห็น โต๊ะที่ไม่มีคนนั่งว่างอยู่เป็นจำนวนมาก

ปัญหาในลักษณะนี้ มีคนคิดหาคำตอบไว้แล้ว เมื่อ 300 ปีก่อน ชื่อว่า นาย จอคอบ เบอร์นูลี่ เขาสร้างวิธีไว้โดย เป็นสูตรอยู่ในรูปของความน่าจะเป็น แต่สูตรนี้ค่อนข้างยุ่งยากและซับซ้อน แต่ในปัจจุบันคนทั่วไปก็สามารถใช้สูตนี้ได้ เพราะอยู่ในฟังก์ชั่นของไมโครซอฟท์เอกซ์เซล ฟังก์ชันที่ว่านี้คือ =binomdist()

ใช้คณิตศาสตร์ กับการเลือกร้านอาหารที่อร่อย

เคยไหมครับ เมื่อเวลาที่เราไปเที่ยวในสถานที่ที่ไม่เคยไปมาก่อนกับ เพื่อนฝูง หรือครอบครัว และระหว่างทางมีร้ัานอาหารอยู่ 5-6 แห่ง แต่ไม่รู้ว่าควรเลือกทานร้านไหนดี  โดยปกติแล้วคนเราถ้าเดินผ่านร้านแรกไป เมื่อเห็นว่า ร้านแรกอาจดูไม่ค่อยเข้าท่าเท่าไรนัก ก็จะเดินต่อไปยังร้านที่สองที่อยู่บนเส้นทางของแผนที่ ถ้าพบว่าร้านที่สองนั้นดูแย่กว่าร้านแรกเสียอีก ก็จะไม่สามารถกลับมายังร้านแรกได้ เพราะอาจทำให้โปรแกรมการเดินทางเสียหมด นี่แหล่ะครับปัญหาในการเลือกร้านอาหารของการไปเที่ยว โดยที่ไม่มีมัคคุเทศก์

หลายคนอาจบอกว่า ลองเดินผ่านร้านอาหารทั้งสามร้านแรกไปก่อน หากพบร้านที่ดูดีกว่าทั้งสามร้าน ก็อาจจะหยุดทานอาหารร้านที่สี่ เพราะถ้าเดินผ่านร้านต่อๆไปก็ไม่มีอะไรที่สามารถจะรับประกันได้ว่า ร้านที่อยู่ถัดไปต้องดีกว่าร้านทั้งสามที่เคยเดินผ่านมา อย่างไรก็ตามวิธีนี้อาจไม่ใช่วิธีที่ได้ผลเพราะหาก ร้านที่ดูดีที่สุดอยู่ ในร้านอาหารสามร้านแรกที่เดินผ่านมา ก็จะไม่สามรถเดินย้อนกลับไปยังร้านนั้นได้อีก...

อย่างไรก็ดี มีคนที่พิสูจน์ไว้แล้วว่า ถ้าร้านอาหารแถวนั้นมีทั้งหมดอยู่ n ร้าน (ค่า n ต้องไม่น้อยจนเกินไป) ทางเลือกที่น่าจะดีที่สุด คือ การเดินผ่าน n/e ร้าน ไปก่อน (e คือค่าคงที่ค่าหนึ่งซึ่งประมาณได้เท่ากับ 2.718) ยกตัวอย่างเช่น ถ้ามีร้านอาหารทั้งหมดอยู่  6 ร้าน ให้เดินผ่าน 2 ร้านแรกไปก่อน และเมื่อเจอร้านที่ดีกว่า 2 ร้านแรก ให้เลือกร้านนั้นได้เลย (เพราะ 6 / 2.718 = 2.2 ปัดเศษลง)  หรือวิธีที่ง่ายกว่าคือ นำ n หารด้วย 3  ซึ่งเป็นการหารโดยประมาณ ซึ่งค่าที่ได้ก็จะใกล้เคียงกับการหารด้วย ค่าคงที่ e

ทฤษฎีเกม ในชีวิตประจำวัน (3)

เมื่อตกอยู่ในสถานการณ์ที่เรียกว่า "เกม" หลักการคิดวิเคราะห์คือ มองดูทางเลือกแต่ละอย่างนั้นให้ผลตอบแทนเป็นอย่างไร แล้วให้ดูว่าผลตอบแทนแบบไหนที่ให้ผลประโยชน์กับตัวเรามากที่สุด โดยยึดหลักว่าผู้เล่นทุกฝ่ายในเกม จะเล่นเกมโดยให้ผลตอบแทนสูงสุดเกิดขึ้นกับตัวเองเสมอ

กรณีที่คุณลุง นั้นถูกรถชน กรณีแรกหากคุณลุงเลือกที่จะลงบันทึกประจำวัน คุณหมอจำเป็นต้องชดใช้ค่ารักษาพยาบาลและอาจต้องถูกดำเนินคดี แต่ถ้าคุณลุงเลือกที่จะไม่ลงบันทึกประจำวัน คุณหมอจะมีทางเลือกอยู่ด้วยกันอยู่สองทาง คือการชดใช้ค่ารักษาพยาบาล กับ การหนี ซึ่งหากคิดตามหลักทฤษฎีเกม จะสามารถทายใจคุณหมอว่า จะเลือก "การหนี" เพราะการหนี จะให้ผลประโยชน์ตอบแทนแก่หมอมากกว่า เลือกชดใช้ค่ารักษาพยาบาล ดังนั้นทางเลือกที่ดีที่สุดของ ลุง คือ การลงบันทึกประจำวัน เพราะเป็นการเลือกที่ทำให้คุณลุงมีผลตอบแทนมากกว่า

ตอนนี้หลายคนอาจรู้สึก "ไม่ดี" กับทฤษฎีเกม ไม่มากก็น้อย เพราะดูเหมือนจะสอนให้คนเอาเปรียบกัน นึกถึงผลประโยชน์ตอบแทนของตนเองฝ่ายเดียว เพราะถ้าเกิดเหตุการณ์ดังกรณีคุณลุง ขึ้นมาจริงๆ แล้วคุณหมอ เป็นคนดี ซื่อสัตย์ คุณลุงจะทำให้หมอ นั้นเสียชื่อเสียง... ก็มีความเป็นไปได้เหมือนกันที่ คุณหมอนั้นจะเป็นคนดีและมีสัจจะขึ้นมาจริงๆ แต่สิ่งหนึ่งที่ต้องคิดไว้คือ ในสถานการณ์อย่างนั้นเราไม่มีทางรู้ได้เลยว่า คุณหมอนั้นเป็นคนอย่างไร จริงอยู่ที่คุณหมออาจเป็นคนดีจริงๆ แต่เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเป็นคนดีจริงๆ ดังนั้นในสถานการณ์ที่เราไม่มีทางรู้ได้เลยว่า อีกฝ่ายจะคิดในใจอย่างไร เราต้องเลือกหนทางที่ปกป้องผลประโยชน์ของตนเองไว้ก่อน

ทฤษฎีเกม ในชีวิตประจำวัน (2)

ในสถานการณ์ที่เรียกว่า เกมนั้น จะต้องมีฝ่ายหนึ่งที่กำลังเลือกทางเลือกอยู่ ผลตอบแทนของคุณและเขาไม่ได้ขึ้นกับ การตัดสินใจของคนเพียงคนเดียว แต่ขึ้นกับการตัดสินใจทั้งสองฝ่าย การที่อยากได้รับผลตอบแทนสูงสุดจำเป็นต้องเดาทางเลือกของอีกฝ่ายให้ออก

หมากรุก เป็นตัวอย่างหนึ่งของคำว่า เกม เพราะ การเล่นหมากรุก คือการพิจารณาว่าฝ่ายตรงข้ามนั้นจะทำการแก้เกมอย่างไร... การซื้อหวย นั้นไม่ใช่เกม เพราะการออกรางวัลแต่ละครั้งเป็นการสุ่ม เครื่องออกรางวัลซึ่งเป็นผู้เล่นฝ่ายตรงข้าม ไม่สนใจว่าผู้เล่น จะซื้อเลขใดไปและผู้เล่นจะไม่ได้รับประโยชนฺ์ใดๆ จากการคาดเดาว่า งวดนี้จะออกเลขใด

ในกรณีของคุณลุง ถือว่าเป็นเกม อย่างหนึ่ง ในเกมนี้มีผู้เล่นสองคนคือ คุณหมอกับคุณลุง โดยที่ลุงนั้นมีทางเลือกด้วยกันสองทาง คือการไม่ลงบันทึกประจำวัน และ การลงบันทึกประจำวัน ส่วนคุณหมอก็มีทางเลือก 2 ทางเช่นกันคือ การชดใช้ค่ารักษาพยาบาล กับ การหนี  ในเกมนี้ลุงเป็นผู้เลือกก่อน ถ้าคุณลุงเลือกที่จะลงบันทึกประจำวัน คุณหมอจะไม่มีทางเลือกใดๆได้อีก และจะต้องถูกดำเนินคดี แต่ถ้าคุณลุงเลือกที่จะไม่ลงบันทึกประจำวัน คุณหมอก็มีทางเลือกสองทางได้แก่ กาีรหนี และ การใช้ชดใช้ค่าเสียหาย

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีเกม ในชีวิตประจำวัน (1)

คุณลุงคนหนึ่ง ถูกรถชนที่กลางสี่แยก เป็นเหตุให้ขาหัก อาการสาหัสมาก และต้องนอนอยู่โรงพยาบาลนานหลายเดือน โดยที่คนที่ขับรถชนคุณลงคนนี้เป็นหมอที่มีชื่อเสียงคนหนึ่ง  การขับรถโดยประมาทเป็นเหตุให้ผู้อื่นได้รับบาดเจ็บสาหัสเป็นคดีอาญา และอาจต้องโทษติดคุก ซึ่งมีผลกระทบต่อชื่อเสียงของคุณหมอ  ดังนั้นหมอผู้นี้จึงได้ขอร้องไม่ให้คุณลุงลงบันทึกประจำวัน และรับปากว่าจะชดใช้ค่าเสียหายตลอดจนค่ารักษาพยาบาล  คุณลุงคนนี้เป็นคนใจบุญ การได้ช่วยหมอให้รอดพ้นจากคดีอาญา ย่อมเท่ากับเป็นการช่วยให้คุณหมอนั้น ไม่เสียชื่อเสียง ในวันนั้นคุณลุงจึงตัดสินใจไม่ลงบันทึกประจำวัน ตามคำขอร้องของหมอผู้นั้น

คุณหมอคนดังกล่าวมาเยี่ยมคุณลุงที่โรงพยาบาลอีกแค่ สองครั้ง ก่อนจะเงียบหายไป และได้ปัดความรับผิดชอบในเรื่องของค่าใช้จ่ายทั้งหมด ในที่สุดคุณลุงจึงต้องกลายเป็นผู้รับผิดชอบค่ารักษาพยาบาลทั้งหมดด้วยตนเอง
...

ชีวิตของมนุษย์เต็มไปด้วย สถานการณ์ที่เรียกว่า เกม คำว่า เกม นั้นหมายถึงอะไร และสถานการณ์แบบไหนที่เรียกว่า เกม บ้าง

มาทำความรู้จักกับทฤษฎีเกม

ทฤษฎีเกม ถูกเสนอขึ้นโดย นาย จอห์น นิวแมน นักคณิตศาสตร์ เพื่อใช้อธิบาย พฤติกรรมการใช้กลยุทธ์ของมนุษย์ในการแย่งชิงผลประโยชน์ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีเกม ถูกพัฒนาต่อให้ก้าวหน้าขึ้นอย่างมาก โดย จอห์น แนช โดยทฤษฎีของ จอห์น แนช นั้นครอบคลุมถึง สถานการณ์ผลประโยชน์ของแต่ละฝ่า่ย ซึ่งอาจไม่ได้ขึ้นอยู่กับ การแย่งชิงผลประโยชน์ของฝ่ายตรงข้ามเท่านั้น แต่อาจเกิดขึ้นจากความร่วมมือของบุคคลอื่นร่วมด้วย ทำให้ทฤษฎีเกมมี ลักษณะที่ใกล้เคียงกับสถานการณ์ในชีวิตประจำวันเป็นอย่างมาก ดังนั้นทฤษฎีเกม ได้ถูกนำไปใช้กับศาสตร์ ต่างๆ หลายศาสตร์ ยกตัวอย่างเช่น รัฐศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ การเมือง การทหาร การเจรจาต่อรอง ธุรกิจการค้าต่างๆ ฯลฯ โดยทฤษฎีเกม สามารถอธิบายพฤติกรรมของมนุษย์ได้

การนำคณิตศาสตร์มาใช้ในชีวิตประจำวัน

หลายคนอาจแย้งในใจว่า ในชีวิตประจำวันของเรานั้นไม่เห็นเกี่ยวข้อง หรือจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์สักเท่าไหร่ เพราะสมัยนี้ก็มีโปรแกรมต่างๆมากมายที่ช่วยคิดคำนวณ ดังนั้นการ บวก ลบ คูณ หาร ก็เป็นสิ่งที่ใครๆ ก็สามารถทำกันได้ง่ายๆ หรือ ในชิวิตประจำวัน ของเรานั้นก็ไม่เห็นเกี่ยวข้องกับบทเรียนคณิตศาสตร์ที่ยากๆ เช่น แคลคูลัส ความน่าจะเป็น เรขาคณิต  ซึ่งในความเป็นจริงแล้วการนำคณิตศาสตร์มาใช้ในชีวิตประจำวัน ไม่ได้หมายถึงว่า ต้องใช้คณิตศาสตร์เรื่องยาก หรือในขณะเดียวกันก็ไม่ได้หมายถึง แค่การบวกลบเลข เท่านั้น เนื่องจากชีวิตของคนแต่ละคนนั้นอาจไม่เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น อาชีพวิศกร หมอ ครู นักกีฬา ฯ อย่างไรก็ตาม การนำคณิตศาสตร์มาใช้ในชีวิตประจำวันนั้นสามารถกระทำได้ ทุกคน ขึ้นกับ มุมมองและทัศนคติของเรา มากกว่า

เนื้อหาสำหรับคณิตศาสตร์ ม.ต้น

เนื้อหาคณิตศาสตร์ สำหรับช่วงชั้น ม1-ม3 นั้น เป็นพื้นฐานที่สำคัญไว้ใช้กับ การเรียนคณิตศาสตร์ม.ปลาย เนื้อหาคณิตศาสตร์สำหรับ ม.ต้น นั้นได้แก่

1)  การเขียนตัวเลขแทนจำนวน
2)  ระบบจำนวนเต็ม
3)  สมบัติของจำนวนนับ
4)  เศษส่วน
5)  ทศนิยม
6)  อัตราส่วน ร้อยละ
7)  คู่ลำดับและกราฟ
8)  การนำเสนอข้อมูล
9)  เส้นตรง และมุม
10) เส้นขนาน
11) ความคล้าย
12) ความเท่ากันทุกประการ
13) วงกลม
14) การวัดและการประมาณ
15) ความยาวพื้นที่และปริมาตร
16) ปริมาตร และ พื้นที่ผิว
17) จำนวนจริง
18) เลขยกกำลัง
19) พหุนาม
20) สมการและอสมการ
21) สมการกำลังสอง
22) ระบบสมการเชิงเส้น
23) พาราโบลา
24) สมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก
25) อัตราส่วนตรีโกณมิติ
26) ความน่าจะเป็น
27) สถิติ 

เนื้อหาคณิตศาสตร์สำหรับ ม.ปลาย เรียนอะไรกันบ้าง

การเรียนคณิตศาสตร์ ของ ม.ปลาย ในแต่ละโรงเรียน นั้นอาจใช้หนังสือที่แตกต่างกันออกไป บางโรงเรียนอาจใช้หนังสือที่เขียนขึ้นมาเอง แต่โรงเรียนส่วนใหญ่จะอิงตามหลักสูตรที่ ทางกระทรวงศึกษาได้จัดไว้ให้ ซึ่ง เนื้อหาบทเรียนคณิตศาสตร์สำหรับช่วงชั้น ม.4-ม.6 มีได้ดังนี้

1) เซต
2) การให้เหตุผล
3) ตรรกศาสตร์
4) ระบบจำนวนจริง
5) ทฤษฎีจำนวนเบื้อต้น
6) ความสัมพัรธ์และฟังก์ชัน
7) เรขาคณิตวิเคราะห์
8) เมทริกซ์
9) ฟังก์ชันเอกโปเนลเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
10) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
11) เวกเตอร์ในสามมิติ
12) จำนวนเชิงซ้อน
13) ทฤษฎีกราฟเบื้อต้น
14) ความน่าจะเป็น
15) แคลคูลัสเบื้องต้น
16) ลำดับและอนุกรม
17) กำหนดของเชิงเส้น
18) สถิติ

เคล็ดลับในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์

หลายคนอาจสงสัยว่า เรียนคณิตศาสตร์ไปเพื่ออะไร เพราะปัจจุบันการคำนวณก็สามารถใช้เครื่องคิดเลขในการคิดได้ แต่ในความเป็นจริงแล้ว ความสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ไม่ใช่วิชาที่คำนวณเกี่ยวกับตัวเลข เพียงอย่างเดียวเท่านั้น แต่เป็นวิชาที่เป็นพื้นฐานของศาสตร์ หลายสาขาวิชา ได้แก่ วิศวกรรมศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ บัญชี ฯลฯ 


ซึ่งเคล็ดลับในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ สามารถทำได้ง่ายๆดังนี้
1. ตอนที่เรียนหากไม่เข้าใจในเนื้อหา ควรจดคำถามที่สงสัยขึ้นไว้เพื่อถามผู้รู้ต่อไป 
2 ทบทวนเนื้อหามี่เรียนมาอย่างสม่ำเสมอ 
3 พยายามศึกษาความรู้ที่ได้เรียนมาด้วยตนเอง และหมั่นฝึกฝนจำโจทย์ปัญหาให้มากๆ เช่น โจทย์คณิตศาสตร์แข่งขันต่างๆ 

หลักสูตรระดับชั้นปี ที่รับสอน

- คณิตศาสตร์ ระดับชั้น อนุบาล


- คณิตศาสตร์ ระดับชั้น ประถม 


- คณิตศาสตร์ ระดับชั้น มัธยมศึกษาตอนต้น 


- คณิตศาสตร์ ระดับชั้น มัธยมศึกษาตอนปลาย


- คณิตศาสตร์ ระดับชั้น มหาวิทยาลัย

รับสอนพิเศษ วิชาคณิตศาสตร์ ทุกระดับชั้น ประถม ม.ต้น ม.ปลาย

เราคือสถาบัน สอนพิเศษวิชาคณิตศาสตร์ ตามบ้าน ติวคณิตศาสตร์ตัวต่อตัว ที่ประกอบด้วยทีมงาน ที่มีประสบการณ์ในการสอนพิเศษ โดยพี่ๆทีมงานเริ่มสอนวิชาคณิตศาสตร์ตามบ้านตั้งแต่เรียนอยู่ ม ปลาย และ ยังติวให้กับเพื่อนๆ ในกลุ่มในการสอบที่โรงเรียนเสมอมา โดยอาศัยหลักการถ่ายทอดจากเรื่องยากๆ ให้เป็นเรื่องง่าย เน้นความเข้าใจเป็นสิ่งสำคัญ


ติดต่อ 090-043-8143